MENORES Y COFACTORES.

 

En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.

 

 

Se llama menor del elemento  aik de un determinante  D de   al determinante  Mik de orden   que se obtiene al eliminar el renglón  i   y la columna  k de  D.

 

   

Ejemplo 1.

 

Obtener los menores  M13   y   M21  del determinante  D  de  .

 

                      

 

Para  M13  eliminamos el renglón  1  y la columna  3  para obtener

 

                        

 

De la misma forma, se elimina el renglón  2   y la columna  1  para tener

 

                       

 

 

 

Se  llama cofactor del elemento  aik  del determinante   D,  al menor   Mik  con el  signo      (-1)i+k   y se denota   Aik,  esto es

 

                                                                                      (1)

 

                              

Ejemplo 2.

 

Obtenga los cofactores   A13  y  A21   del determinante  D  dado:

      

                      

 

De acuerdo con la fórmula  (1) el cofactor   A13 está dado por

 

                      

 

Y de la misma forma

 

                 

 

 

Expansión por cofactores de un determinante.

 

 Se puede probar el siguiente

 

 

Teorema

Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.

 

Esto es

                                   (2)

 

es el desarrollo del determinante  D  por  el  renglón  i,  y  similarmente

 

                                                                    (3)

 

es el desarrollo del determinante  D  por la columna  k.

 

 

Las expresiones  (2)  y  (3)   son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.

 

Ejemplo 3.

 

Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante  D.

 

             

 

Para expandir  D,  por cofactores del segundo renglón,  calculamos primero los cofactores  A21, A22 y A23 de los elementos del segundo renglón.

              

 

Entonces 

 

               

 

Ejemplo 4.

 

Desarrollar por cofactores de la primera columna y calcular el valor del determinante  D del ejemplo 3 para verificar que obtenemos el mismo valor.

 

Para expandir por cofactores de la primera columna, primero evaluamos los cofactores  A11, A21, A31 de los elementos de la primera columna:

 

 

Entonces

                

 

 

Ejemplo 5.

 

Considere la matriz  A  y calcule su determinante  det A

 

                                       

 

Para evaluar el determinante de A usamos la fórmula  (2)  que permite desarrollar un determinante por cofactores de una columna.  Observe que la primera columna de A consta de tres ceros y un 2.  Desarrollando por la columna  (1) se tiene

 

                 

 

Aún falta evaluar el determinante de 3x3,  que desarrollamos por cofactores de la columna 3 porque dos de sus elementos son ceros, entonces

                

                   

 

 

 

Ejemplo 6.   

 

El determinante de una matriz triangular.

Considere la matriz   B  triangular, calcule  det B

 

                                               

 

Entonces, desarrollando por cofactores de la primera columna, y desarrollando los menores correspondientes de la misma forma, se tiene

 

                

 

Así que, el determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos en la diagonal principal.