SISTEMAS DE m ECUACIONES CON n INCOGNITAS.

 

Uno de los métodos que más se usan para resolver este tipo de sistemas es el llamado método de reducción por renglones o método de Gauss-Jordán. Consiste en la eliminación sucesiva de incógnitas de acuerdo con el esquema siguiente:

 

Para resolver el sistema

 

 

se escribe la matriz ampliada del sistema:

 

 

 

La raya vertical separa los coeficientes del sistema, a la izquierda, y los términos independientes a la derecha.

 

Sobre esta matriz se realizan las operaciones elementales por renglones con el objetivo de llegar a una matriz en la forma escalonada reducida por renglones (ferr).

 

 

En resumen, se permite:

 

  1. Intercambiar renglones. Que equivale a intercambiar ecuaciones.

 

  1. Multiplicar un renglón por una constante. Equivalente a multiplicar una ecuación por una constante.

 

  1. Agregar a un renglón otro renglón multiplicado por una constante. Equivalente a sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

 

Cada vez que se aplica a la matriz aumentada una operación elemental sobre renglones, se obtiene una matriz ampliada de un sistema equivalente al inicial.

 

Para explicar el método consideremos los siguientes tres ejemplos.

 

Ejemplo 1.

 

 

Su matriz ampliada es

 

 

Al segundo renglón le restamos el triple del primero

                         

_

3

1

-2

|

4

3

6

9

|

27

 

0

-5

-11

|

-23

 

 y al tercer renglón le restamos cuatro veces el primero:

 

_

4

5

6

|

24

4

8

12

|

36

 

0

-3

-6

|

-12

 

Estos resultados se sustituyen en la matriz ampliada

 

 

El segundo renglón lo dividimos entre - 5 para obtener

 

 

Al primer renglón le restamos el doble del segundo, y al tercer renglón le sumamos el triple del segundo, verifique el lector las operaciones:

 

 

Si multiplicamos el tercer renglón por  tendremos

 

 

Finalmente sumando al primer renglón  del tercero, y restando al segundo  del tercero, se tiene:

 

 

que está en la ferr, de donde leemos la solución

 

 

Esta es la única solución del sistema y por ello decimos que es un sistema consistente determinado.

 

 

Ejemplo 2.

 

 

La matriz ampliada de este sistema es

 

 

Sumándole al segundo renglón el doble del primero, y restándole al tercer renglón el cuádruplo del primero, se tiene la matriz

 

 

 Ahora sumamos al primer renglón el segundo, y al tercer renglón le restamos el doble del segundo, para obtener

 

 

Ahora dividimos el tercer renglón entre - 4 para tener

 

 

Finalmente al primer renglón le restamos el doble del tercero, y al segundo le restamos el tercero.

 

 

que está en la ferr, esta última es la matriz ampliada del sistema

 

 

Entonces la solución del sistema es

 

 

El valor de x4 es arbitrario y decimos que es una variable libre. Entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones, una para cada valor de x4; por esto el sistema decimos que es consistente indeterminado.

 

 

Ejemplo 3.

 

 

La matriz ampliada de este sistema es

 

 

Al segundo renglón le restamos el doble del primero, y al tercero le restamos cinco veces el primero

 

 

dividimos el segundo renglón entre -3

 

 

restando al primer renglón el segundo, y sumando al tercer renglón seis veces el segundo, se tiene

 

 

En el tercer renglón leemos 0 = - 3 y concluimos que el sistema no tiene solución. Un sistema que no tiene solución decimos que es inconsistente.