Lección 4.2

Parametrización de superficies

Primera parte

 

Parametrización:

 

Las gráficas de una función de dos variables son las superficies que son más fáciles de parametrizar.

 

Recordemos que la gráfica de una función z= f(x ,y) es el conjunto de puntos en el espacio tridimensional cuyas coordenadas son:

 

(x , y, f(x,y))

 

para (x , y) en un dominio de R2

 

Estas superficies también pueden ser definidas como la imagen de una función vectorial, de dos parámetros (o variables independientes). En este curso representaremos a los dos parámetros con las letras u y v y a la función vectorial como S(u , v).

 

De este modo una superficie en R3 que es la imagen de una función z= f(x ,y) (ver Figura 1) se puede definir a través de tres funciones de la forma:

 

 

esto es:

 

S(u , v) = (u , v, f(u,v) )

 

Figura 1

 

 

 

Si mantenemos constantes el parámetro v en v0 y variamos sólo u , el vector S(u , v0) tiene como imagen una curva en la superficie cu(u , v0). Lo mismo podemos decir con el otro parámetro v, que tiene como imagen otra una curva en la superficie cv(u0 , v), cuando u = u0 (ver Figura 2)

 

Figura 2

 

Vectores tangentes a las curvas u , v:

 

Vector tangente a la curva u:

 

 

Vector tangente a la curva v:

 

 

Vector Normal a la superficie:

 

Cuando evaluamos estos vectores para un punto de la superficie y resultan no nulos y además no paralelos, o sea que el producto vectorial

 

 

se dice que el punto es regular,  no singular, y la superficie es ordinaria, o suave en dicho punto (ver Figura 3).

 

 

Figura 3

 

 

Definición de Plano Tangente:

 

Si una superficie parametrizada S(u , v) es suave en (u0 , v0), definimos el plano tangente a la superficie en  S(u0 , v0) como el plano determinado por los vectores Tu y Tv.

 

Así

  

es un vector normal (perpendicular) a la superficie y

 

donde n está evaluado en (u0 , v0) , es una ecuación del plano tangente a la superficie en el punto (x0 , y0 , z0 ); es decir, el plano tangente es el conjunto de puntos (x , y, z) que satisfacen (1).

 Si n = (n1 , n2 , n3) entonces la fórmula (1) se convierte en:

 

….  n1(x – x0) + n2(y – y0) + n3(z – z0) = 0  ….    (1´)

 

 

Las superficies que son imágenes de funciones diferenciables de dos variables son superficies regulares (ver Figura 4).

 

Figura 4

 

Si du à 0  y dvà la porción sombreada puede conceptualizarse como una sección infinitésima de la superficie cuya área es:

 

 

que es un escalar positivo.

Desde el punto de vista vectorial el área será:

 

 

Esto nos lleva a la siguiente definición:

 

Definición: Área de una superficie parametrizada:

 

Definimos A(S) de una superficie parametrizada por:

 

 … (2)

Si S es una unión de superficies Si , su área es la suma de las áreas de las Si

  

Si desarrollemos el producto vectorial:

 

 

Ahora apliquemos la formula (2), y así obtenemos: