Lección 3.7

Integrales de línea de campos conservativos

 

Recordemos el Teorema Fundamental del Cálculo para funciones de variable real.

 

Supongamos que g y G son funciones continuas con valores reales definidas sobre un intervalo cerrado [a , b], que G es diferenciable en (a , b) y que G´= g. Entonces:

 

 

Así, el valor de la integral de g depende sólo del valor de G en los extremos del intervalo [a , b].

 

Cuando el campo vectorial F es un campo gradiente (conservativo), existe un teorema equivalente al teorema fundamental del Cálculo, donde el valor de la integral de línea de campos vectoriales conservativos está completamente determinada por el valor de su función potencial f en los extremos c(a) y c(b)  

 

Esta generalización del Teorema Fundamental brinda una técnica útil para evaluar ciertos tipos de integrales de línea.

 

Teorema Fundamental de las Integrales de Línea:

 

Supongamos que f : R3 à R es de clase C1 y que c : [a , b] à R3 es una trayectoria C1 a trozos.

 

Entonces:

 

 

 

 

 

Ejemplo1.-

 

Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas:

 

F (x , y) = ( ½ xy , ¼ x2)

 

Sobre una partícula que se mueve desde (0,0) hasta (1,1)

 

Solución:

 

El campo vectorial F (x , y) = ( ½ xy , ¼ x2)  es conservativo porque:

 

F (x , y) = L f(x, y)  donde f (x , y) = ¼ x2 y

 

Por el teorema fundamental de las integrales de línea tenemos:

 

 

Como el integrando se identificó como un gradiente, la evaluación de la integral del línea se facilitó.

 

NOTA:

 

Si c : [a , b] à R3 es una trayectoria C1 cerrada , esto es: c (a) = c (b)  tenemos que:

 

 

El siguiente teorema ofrece varias opciones a la hora de calcular una integral de línea relativa a un campo gradiente (conservativo). Podemos usar una función potencial o cambiar el camino propuesto por otro especialmente simple.

 

Ejemplo 2.-

 

Evaluar

 

 

donde:

 

F (x , y) = ( y3 + 1 , 3xy2 + 1)

 

Para el camino semicircular que va de (0 , 0) a (2 , 0), como se muestra en la Figura 3.7.1

 

Figura 3.7.1

 

Solución:

 

Tenemos tres opciones:

 

a).- Podemos usar el método para evaluar a lo largo de cualquier curva usando la siguiente parametrización:

c (t) = (1 – cos (t) , sen (t))   con 0 # t # B

En ella se tiene:

c´(t) = (sen  (t) , cos (t)) 

 

F (c (t) ) =  ( sen3(t)+1 , 3 sen2(t) -3 sen2(t) cos(t) +1 )

 

 

 

Utilizando Maple , obtenemos:

 

> f:=sin(t)+(sin(t))^4+cos(t)+3*((sin(t))^2)*cos(t)-3*((cos(t))^2)*((sin(t))^2);

 

 

 

> int(f,t=0..Pi);

 

 

b).- Podemos intentar hallar una función potencial f y evaluar la integral de línea mediante el teorema fundamental de las integrales de línea.

 

> with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

 

 

>  f:=[y^3+1,3*x*y^2+1,0];

 

 

> v:=[x,y,z]:

 

> curl(f,v);

 

Por lo tanto F es conservativo, entonces hay que encontrar una función escalar f tal que:

 

 

 

Si ahora integramos las expresiones anteriores tenemos:

 

 

 

Combinando estas dos últimas expresiones tenemos:

 

f(x , y) = xy3 + x + y

 

y esta función escalar esta diseñada de tal manera que Lf = F

 

Entonces:

 

 

c).- Al ser F conservativo disponemos de una tercera opción. Como el valor de la integral de línea es independiente del camino, podemos sustituir el camino semicircular por otro más simple. Supongamos que tomamos el camino recto c2 que va de (0 , 0) a (2 , 0):

 

…. c(t) = (t , 0) para 0 # t # 2

 

c´(t) = (1 ,0) 

 

F (c (t) ) =  ( 03 + 1 , 3( t)(0)+1 ) = (1 , 1)

 

F (c (t) )A c´(t)   = 1

 

 

Teorema: Condiciones equivalentes:

 

Si F es un campo vectorial continuo en una región abierta y conexa y si  C1 c: [a , b] à R3 es una trayectoria suave a trozos, las siguientes condiciones son equivalentes:

 

1.- Si F es conservativo, entonces existe una función escalar f tal que F = L f

 

2.-  es independiente del camino.

 

3.-  para toda curva cerrada C en R