Lección 1.9

Longitud de Arco

 

¿Cuál es la longitud de una trayectoria c(t)?

Puesto que la rapidez 2 c´(t) 2 mide la razón de cambio de la distancia recorrida con respecto del tiempo, la distancia recorrida por un punto que se mueve sobre la curva debe ser igual a la integral de la rapidez con respecto al tiempo sobre el intervalo [ t0 , t1 ] que dura el trayecto; es decir, la longitud de la trayectoria, también llamada longitud de arco

 

 

 

 

Por ejemplo, supongamos que tomamos una curva en el plano o en el espacio y pegamos sobre ella ajustadamente una cinta, contando el sobrante de manera que la cinta se superponga exactamente sobre la curva. Si después despegamos la cinta, la enderezamos y la medimos con una regla, es claro que obtenemos exactamente la longitud de la curva.

 

Si una curva está formada por un número finito de trozos (ver escena 1) cada uno de los cuales tiene derivada acotada, calculamos su longitud de arco sumando las longitudes de cada uno de los trozos. Tales curvas se denominan C1 a trozos. También se les denomina “suaves a trozos”

 

 

Longitud de arco:

La longitud de arco de la trayectoria

c(t) = ( x(t) , y(t) , z(t) )

para t0 # t # t1 es:

 

 

Ejemplo 1.-

Calcular la longitud de arco para la curva cuyas ecuaciones paramétricas son:

 

x(t) = 24 sqrt(2) t

y(t) = -16 t2 +24 sqrt(2) t

 

 

Escena 1

  Nombre y Apellidos


Dr. José Luis Abreu León


 


© Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

 

 

Liga al Proyecto Descartes:

http://descartes.cnice.mecd.es/

 

 

Ejemplo 2:

 

Hallar la longitud de arco de:

 

c(t) = ( cos t , sen t, t2 )

 

 

 

La trayectoria tiene como vector velocidad:

 

…. v(t) = ( - sen t, cos t, 2t)

 

Puesto que:

 

 

 

la longitud de arco es:

 

 

Usando el programa MAPLE para evaluar la integral tenemos:

 

 

> rapd:=sqrt(1+(2*t)^2);

> Int(rapd,t=0..Pi);

Ø      evalf(int(sqrt(1+(2*t)^2),t=0..Pi));

 

 

Si la curva está formada por un número finito de trozos cada uno de los cuales es C1 (con derivada acotada), calculamos su longitud de arco sumando las longitudes de cada uno de sus trozos.

 

Ejemplo 3.-

Un círculo de radio 1 rueda alrededor de otro de radio 4 (ver Escena 2).

 

 

Escena 2

La epicicloide descrita por un punto de la circunferencia del círculo más pequeño viene dada por:

 

…. x(t) = 5 cos t –cos 5t

…. y(t) = 5 sen t – sen 5t

 

Hallar la distancia recorrida por el punto en una vuelta completa alrededor del círculo mayor.

 

Solución:

 

Observamos en la Escena 2 que la curva tiene puntos angulosos cuando t = 0, t = B/2, t = B, t = 3B/2 y  t = 2B .

 

Cuando 0 < t < B/2 dx/dt y dy/dt no se anulan simultáneamente, esto quiere decir que en este intervalo de tiempo la curva es suave.

 

Calculamos la longitud de arco en este intervalo.

 

 

 

 

Recordando las identidades trigonométricas :

 

cos (A – B) =cos(A)cos(B) + sen(A) sen(B)

 

 

tenemos que la integral anterior se puede representar como:

 

 

Si multiplicamos por 4 el resultado anterior obtenemos que la distancia recorrida por el punto en una vuelta completa alrededor del círculo mayor es 40.