Lección 1.3

Velocidad y tangente a una trayectoria

 

Si imaginamos a c(t) como la curva trazada por una partícula y a t como el tiempo, es razonable definir el vector velocidad como sigue:

 

Definición: Vector velocidad

 

Si c es una trayectoria y es diferenciable decimos que c es una trayectoria diferenciable.

 

La velocidad de c en el instante t se define como:

 

 

Normalmente trazamos el verdor (t) con origen en el punto c(t).

 

La rapidez de la trayectoria c(t) es s = 2c´(t)2, que no es otra cosa que la longitud del vector velocidad.

 

Si c(t) = (x(t) , y(t)) está en R2 se tiene:

 

c´(t) = (x´(t) , y´(t)) = x´(t)i + y´(t)j

 

y si c(t) = (x(t) , y(t) , z(t)) está en R3 se tiene:

 

(t) = (x´(t) , y´(t) , z(t)) = x´(t)i + y´(t)j + z´(t)k

 

 

 

 

Aquí x´(t) es la derivada en una variable dx/dy. Si interpretamos los límites de vectores como límites componente a componente, las fórmulas que dan el vector velocidad se obtienen de la definición de derivada. Sin embargo el límite puede interpretarse también en el sentido vectorial. En la siguiente escena vemos que [c(t+h) – c(t)]/h aproxima la tangente a la trayectoria cuando h 6 0

 

 

 

 

 

Vector tangente

La velocidad (t) es un vector tangente a la trayectoria c(t) en el instante t.

 

 

 

Ejemplo 1.- Calcular el vector tangente a la trayectoria c(t) = (t,  t2, et) en el punto t = 0.

 

Solución:

 

Resulta que c´(t) = ( 1 , 2t , et ) y en t = 0 obtenemos el vector tangente ( 1 , 0 , 1 )

 

 

En la siguiente escena al variar el parámetro t se pueden observar los vectores tangentes a la trayectoria

 

c(t) = ( et cos t , et sen t )